Problèmes Impossibles/Les triangles de Sierpinski

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Énoncé

Erreur lors de la création de la miniature : Impossible d'enregistrer la vignette sur la destination

Patrice décide de produire une œuvre d’art triangulaire. L’idée est de partager un triangle blanc en 4 triangles et de colorier en noir le triangle central (image 1). On découpe ensuite chaque triangle blanc obtenu et on colorie de la même façon (image 2). On recommence cette opération encore deux fois de suite.

Combien y aura-t-il de triangles noirs en tout sur l’image n° 4 ?

(Extrait de la final des jeux mathématiques - 1996)

Solution

Le triangle de Sierpiński est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński. Il peut l'obtenir à partir d'un triangle « plein » et d'une infinité d'itérations consistant à remplacer chaque triangles « plein » par trois exemplaires du triangles réduit de moitié, juxtaposer par leurs sommets pour former un nouveau triangle avec un triangle « creux » inversé entre eux

• A la première étape (image 1 de l'énoncé), on a
  • 3 blancs et 1 noir (ou 3 pleins et 1 creux)
• A la seconde étape (image 2 de l'énoncé),
  • • 1 noir de la précédente
    • 3 fois 3 blancs et 1 noir (ou 3 pleins et 1 creux)
  • soit 4 noirs et 9 blancs
• A la 3éme étape on obtient
  • • 4 noir de la précédente
    • 9 fois 3 blancs et 1 noir (ou 27 pleins et 9 creux)
  • soit 13 noirs et 27 blancs
• A la 4éme étape on obtient
  • • 13 noir de la précédente
    • 27 fois 3 blancs et 1 noir (ou 81 pleins et 27 creux)
  • soit 40 noirs et 81 blancs

De manière générale, à l'étape n il y aura <asciimath>(n^(n-1))/(n-1)</asciimath> triangles noirs