Problèmes Impossibles/Les triangles de Sierpinski - Historique des versions

Yannick.grignet : formule

2012-05-16T12:43:27Z

formule

Jacques.houbart : /* Solution */ ext

2012-05-16T08:46:13Z

‎Solution : ext

Jacques.houbart : /* Solution des problèmes précédents : */

2012-05-16T08:40:15Z

‎Solution des problèmes précédents :

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{{Problèmes Impossibles}}
==Énoncé==
[[Image:Problemes_Impossibles_16_E01.png|center|260px|Les triangles de Sierpinski]]
Patrice décide de produire une œuvre d’art triangulaire.
L’idée est de partager un triangle blanc en 4 triangles et de colorier en noir le triangle central (image 1). On découpe
ensuite chaque triangle blanc obtenu et on colorie de la même façon (image 2).
On recommence cette opération encore deux fois de suite.

Combien y aura-t-il de triangles noirs en tout sur l’image n° 4 ?

''(Extrait de la final des jeux mathématiques - 1996)''

==Solution==
Le triangle de Sierpiński est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.
Il peut l'obtenir à partir d'un triangle « plein » et d'une infinité d'itérations consistant à remplacer chaque triangles « plein » par trois exemplaires du triangles réduit de moitié, juxtaposer par leurs sommets pour former un nouveau triangle avec un triangle « creux » inversé entre eux
[[Image:Problemes_Impossibles_16_S01.svg|center|260px|Les triangles de Sierpinski]]

* A la première étape (image 1 de l'énoncé), on a
**3 blancs et 1 noir (ou 3 pleins et 1 creux)
*A la seconde étape (image 2 de l'énoncé),
*** 1 noir de la précédente
*** 3 fois 3 blancs et 1 noir (ou 3 pleins et 1 creux)
** soit 4 noirs et 9 blancs
*A la 3éme étape on obtient
*** 4 noir de la précédente
*** 9 fois 3 blancs et 1 noir (ou 27 pleins et 9 creux)
** soit 13 noirs et 27 blancs
*A la 4éme étape on obtient
*** 13 noir de la précédente
*** 27 fois 3 blancs et 1 noir (ou 81 pleins et 27 creux)
** soit '''40 noirs''' et 81 blancs

[[Image:Problemes_Impossibles_16_S02.png|center|260px|Les triangles de Sierpinski après 7 ittérations]]

@@ Ligne 30 : / Ligne 30 : @@
 *** 27 fois 3 blancs et 1 noir (ou 81 pleins et 27 creux)
 ** soit '''40 noirs''' et 81 blancs
 [[Image:Problemes_Impossibles_16_S02.png|center|260px|Les triangles de Sierpinski après 7 ittérations]]

@@ Ligne 14 : / Ligne 14 : @@
 Le triangle de Sierpiński est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.
 Il peut l'obtenir à partir d'un triangle « plein » et d'une infinité d'itérations consistant à remplacer chaque triangles « plein » par trois exemplaires du triangles réduit de moitié, juxtaposer par leurs sommets pour former un nouveau triangle avec un triangle « creux » inversé entre eux
-[[Image:Problemes_Impossibles_16_S01.svg|center|260px|Les triangles de Sierpinski]]
+[[Image:Problemes_Impossibles_16_S01.png|center|260px|Les triangles de Sierpinski]]
 * A la première étape (image 1 de l'énoncé), on a