Problèmes Impossibles/Les triangles de Sierpinski : Différence entre versions
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Le triangle de Sierpiński est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński. | Le triangle de Sierpiński est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński. | ||
Il peut l'obtenir à partir d'un triangle « plein » et d'une infinité d'itérations consistant à remplacer chaque triangles « plein » par trois exemplaires du triangles réduit de moitié, juxtaposer par leurs sommets pour former un nouveau triangle avec un triangle « creux » inversé entre eux | Il peut l'obtenir à partir d'un triangle « plein » et d'une infinité d'itérations consistant à remplacer chaque triangles « plein » par trois exemplaires du triangles réduit de moitié, juxtaposer par leurs sommets pour former un nouveau triangle avec un triangle « creux » inversé entre eux | ||
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* A la première étape (image 1 de l'énoncé), on a | * A la première étape (image 1 de l'énoncé), on a | ||
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*** 27 fois 3 blancs et 1 noir (ou 81 pleins et 27 creux) | *** 27 fois 3 blancs et 1 noir (ou 81 pleins et 27 creux) | ||
** soit '''40 noirs''' et 81 blancs | ** soit '''40 noirs''' et 81 blancs | ||
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[[Image:Problemes_Impossibles_16_S02.png|center|260px|Les triangles de Sierpinski après 7 ittérations]] | [[Image:Problemes_Impossibles_16_S02.png|center|260px|Les triangles de Sierpinski après 7 ittérations]] | ||
Version actuelle datée du 16 mai 2012 à 12:43
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Énoncé[modifier]
Patrice décide de produire une œuvre d’art triangulaire. L’idée est de partager un triangle blanc en 4 triangles et de colorier en noir le triangle central (image 1). On découpe ensuite chaque triangle blanc obtenu et on colorie de la même façon (image 2). On recommence cette opération encore deux fois de suite.
Combien y aura-t-il de triangles noirs en tout sur l’image n° 4 ?
(Extrait de la final des jeux mathématiques - 1996)
Solution[modifier]
Le triangle de Sierpiński est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński. Il peut l'obtenir à partir d'un triangle « plein » et d'une infinité d'itérations consistant à remplacer chaque triangles « plein » par trois exemplaires du triangles réduit de moitié, juxtaposer par leurs sommets pour former un nouveau triangle avec un triangle « creux » inversé entre eux
- A la première étape (image 1 de l'énoncé), on a
- 3 blancs et 1 noir (ou 3 pleins et 1 creux)
- A la seconde étape (image 2 de l'énoncé),
- 1 noir de la précédente
- 3 fois 3 blancs et 1 noir (ou 3 pleins et 1 creux)
- soit 4 noirs et 9 blancs
- A la 3éme étape on obtient
- 4 noir de la précédente
- 9 fois 3 blancs et 1 noir (ou 27 pleins et 9 creux)
- soit 13 noirs et 27 blancs
- A la 4éme étape on obtient
- 13 noir de la précédente
- 27 fois 3 blancs et 1 noir (ou 81 pleins et 27 creux)
- soit 40 noirs et 81 blancs
De manière générale, à l'étape n il y aura <asciimath>(n^(n-1))/(n-1)</asciimath> triangles noirs
