Problèmes Impossibles/La roue de la vie

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Énoncé

Dans un monastère trente moines se livrent quotidiennement à un bien curieux cérémonial.

A chaque repas c'est à dire trois fois par jour, et cela cinquante-deux semaines par an, sept jours sur sept (il y a donc un ou deux jours de repos chaque année), les moines se réunissent et s'assoient, régulièrement répartis autour d'une très grande table circulaire.

Ils portent tous un numéro de 1 à 30 sur le devant de leur robe de bure. Le Père Inférieur, le numéro 1, préside et se place toujours sur la même chaise et à la même place. Les autres moines se répartissent à leur gré, à condition d'obéir à la Règle suivante :

La somme des numéros de deux voisins quelconques doit toujours être égale à la somme des numéros portés par les deux moines qui leur sont diamétralement opposés. De plus, à chaque fois, la disposition globale des trente moines doit être nouvelle (celles-ci sont notées soigneusement depuis de longues années).

Mais un jour un des moines s'inquiète du nombre de dispositions possibles. Le Père Inférieur lui explique pourtant : "Notre tradition représente la roue de la vie, mon frère, nous respectons cette règle depuis la fondation du monastère il y a 1400 ans et bien d'autres après nous la continuerons ! Une légende dit que, lorsqu'on ne trouvera plus de nouvelle disposition, la vie cessera sur terre !".

Solution

Appelons :

• <asciimath>X_1</asciimath> le premier moine, c'est-à-dire le Père Inférieur,
• <asciimath>X_2</asciimath> le second moine, situé à droite du Père Inférieur <asciimath>X_1</asciimath>,
• <asciimath>X_3</asciimath> le moine situé à droite de <asciimath>X_2</asciimath>,
• et ainsi de suite, en généralisant la règle "<asciimath>X_i</asciimath> le moine situé à droite de <asciimath>X_(i-1)</asciimath>" et ce <asciimath>AA i in {NN,1<=i<=30}</asciimath>

Les 30 moines étant placé en cercle, le moine <asciimath>X_i</asciimath> se trouve forcément en face du moine <asciimath>X_(i+15)</asciimath> et ce <asciimath>AA i in {NN,1<=i<15}</asciimath>

La somme des numéros des moines vaut (1) : <asciimath>sum_(i=1)^30(X_i)</asciimath>mais aussi la somme des indices qui s'écrit <asciimath>sum_(i=1)^30(i)=30*(30+1)/2=465</asciimath>

Du fait que La somme des numéros de deux voisins quelconques doit toujours être égale à la somme des numéros portés par les deux moines qui leur sont diamétralement opposés, on a les 14 équations suivantes (2) : <asciimath>X_i+X_(i+1)=X_(i+15)+X_(i+16)</asciimath> (1)valable <asciimath>AA i in {NN,1<=i<=14}</asciimath> et la 15éme équation (3) : <asciimath>X_30+X_1=X_15+X_16</asciimath> pour boucler.

En substituant (2) et (3) dans (1), on obtient: <asciimath>X_1+X_16+2*{(X_2+X_3)+(X_4+X_5)+...+(X_2+X_3)+(X_14+X_15))=265</asciimath> Ce qui donne que (4) : <asciimath>X_16+2*sum_(i=1)^15(X_i)=265-X_1=264</asciimath> De cette équation (4), on déduit que <asciimath>X_16</asciimath> est pair !

L’équation (2) pour i=1 donne <asciimath>X_1+X_2=X_16+X_17 <=> X_2=X_16+X_17-1 <=> X_2>X_16</asciimath> En ajoutant à cette équation les 14 autres on à chaque fois <asciimath>X_16</asciimath> systématiquement inférieure aux autres valeurs de rang pair.

On a donc <asciimath>AA i in {NN pair,2<=i<=14} => X_1+X_i=X_16+X_(i+15) => X_i-X_(i+15)=X_16-1 AA i in {NN impair,3<=i<=15} => X_1++X_(i+15)=X_16+X_i => X_(i+15)-X_i=X_16-1</asciimath>

Cette différence <asciimath>X_16-1</asciimath> doit être un diviseur entier de 15 <asciimath>==> X_16 in {2,5,6,16}</asciimath>

Déterminons maintenant les 28 autres valeurs non encore définies : (<asciimath>X_2->X_15</asciimath> et <asciimath>X_17->X_30</asciimath>).

On a donc, pour chaque valeur de <asciimath>X_16</asciimath>, les couples <asciimath>(x_i,x_(i+15))</asciimath> suivants : <asciimath>x_16=2 => (3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30)</asciimath> <asciimath>x_16=4 => (2,5)(3,6)(7,10)(8,11)(9,12)(13,16)(14,17)(15,18)(19,22)(20,23)(21,24)(25,28)(26,29)(27,30)</asciimath> <asciimath>x_16=6 => (2,7)(3,8)(4,9)(5,10)(11,16)(12,17)(13,18)(14,19)(15,20)(21,26)(22,27)(23,28)(24,29)(25,30)</asciimath> <asciimath>X_16=16 => (2,17)(3,18)(4,19)(5,20)(6,21)(7,22)(8,23)(9,24)(10,25)(11,26)(12,27)(13,28)(14,29)(15,30)</asciimath>

Pour chacune des valeurs de <asciimath>X_16</asciimath>, on a <asciimath>14!</asciimath> répartitions possibles. Cela donne <asciimath>4*(14!)=348.713.164.800</asciimath> dispositions différentes. Celles-ci auront toutes été utilisées en <asciimath>348713164800/(52*7*3) = 319.334.400</asciimath> années.