Problèmes Impossibles/Les silences de Madame Hypatie
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Enoncé
C'est un groupe de géomètres qui se réunissent en fin de journée dans un bar. La patronne, Madame Hypatie, a pris l'habitude de leur poser des colles.
Ce jour là, elle les interroge sur l'âge de ses filles (en nombre entier d'année, bien entendu) et leur dit ceci :
"Mes filles, d'âges différents, ont chacune plus de douze mois et moins de vingt et un ans".
En chœur, les géomètres s'écrient: "Avec cela, nous ne pouvons déterminer la solution!"
Alors Madame Hypatie réplique : "La somme des carrés vaut …"
et elle chuchote un nombre à l'oreille de l'un d'entre eux.
Madame Hypatie annonce ensuite "La différence des carrés vaut …"
et elle chuchote un nombre à l'oreille du second géomètre.
Et la-dessus, long silence de Madame Hypatie…
En chœur, ils s'écrient tous les deux: "Avec cela, je ne puis déterminer la solution!".
De nouveau, long silence de Madame Hypatie…
En chœur, ils s'écrient à nouveau : "Avec cela, je ne puis déterminer la solution!".
Mais à peine ont-ils prononcé ces mots, que nos deux géomètres, ainsi que ceux auxquels elle n'avait rien dit s'exclament :
"A présent, nous connaissons la solution".
Et vous ? … Connaissez-vous également la solution ?
Solution
Pour résoudre ce problème, nous allons nous attachez à ce que dit et surtout à ce que ne ne dit pas Madame Hypatie
Il faut prendre « les filles d'age différent, ont plus de 12 mois et moins de 21 ans en nombre entier d'année » comme étant un ensemble allant de 2 ans inclus à 20 ans ans inclus. Cet ensemble peut se matérialiser par une matrice triangulaire supérieure reprenant toutes les combinaisons.
Lorsque nos deux géomètre ne savent pas répondre alors qu'il connaissent soit la somme des carrés, soit leur différences, il faut en déduire que l'information
qui leur a été communiquée donne plusieurs possibilités de réponse. On supprimera donc des matrices triangulaire supérieure, les combinaisons donnant soit une somme soit une différence de carrés unique (case en jaune)..
Lorsque qu'ils s'écrient une première fois tous les deux: "Avec cela, je ne puis déterminer la solution!", ils s'indiquent mutuellement qu'ils ne peuvent pas résoudre le problème seul.
Lorsque qu'ils s'écrient une seconde fois tous les deux: "Avec cela, je ne puis déterminer la solution!", cela indique que les nombres que leur a respectivement communiqué Madame Hypatie ne correspondent toujours pas a une combinaison unique. On supprimera donc des deux matrices les combinaisons qui sont uniques sur une seule des matrice et il restera après cette élimination les combinaisons suivantes : 5/10, 10/11, 13/14 et 11/16 (marquées en bleu)
Comme nous savons tous les différences des carrés sont en fait des produits remarquables. Ce qui nous permet de décomposer les quatre différences des carrés restantes en produits. Nous obtenons ainsi six solutions probables que nous devons vérifier.
La solution du problème consiste à trouver deux valeurs A et B tels que (B-A) et (B+A) divisent la différence des carrés et que la somme de leur carré soit égale à la à la somme des carrés correspondante.
On en déduit donc que les deux filles ont 5 et 10 ans et cela sans qu'il ne soit nécessaire de connaitre les deux nombre donné par Madame Hypatie.
Et vous, aviez vous trouvé la solution ?
