Problèmes Impossibles/La roue de la vie
|
|
|
Énoncé
Dans un monastère trente moines se livrent quotidiennement à un bien curieux cérémonial.
A chaque repas c'est à dire trois fois par jour, et cela cinquante-deux semaines par an, sept jours sur sept (il y a donc un ou deux jours de repos chaque année), les moines se réunissent et s'assoient, régulièrement répartis autour d'une très grande table circulaire.
Ils portent tous un numéro de 1 à 30 sur le devant de leur robe de bure. Le Père Inférieur, le numéro 1, préside et se place toujours sur la même chaise et à la même place. Les autres moines se répartissent à leur gré, à condition d'obéir à la Règle suivante :
La somme des numéros de deux voisins quelconques doit toujours être égale à la somme des numéros portés par les deux moines qui leur sont diamétralement opposés. De plus, à chaque fois, la disposition globale des trente moines doit être nouvelle (celles-ci sont notées soigneusement depuis de longues années).
Mais un jour un des moines s'inquiète du nombre de dispositions possibles. Le Père Inférieur lui explique pourtant : "Notre tradition représente la roue de la vie, mon frère, nous respectons cette règle depuis la fondation du monastère il y a 1400 ans et bien d'autres après nous la continuerons ! Une légende dit que, lorsqu'on ne trouvera plus de nouvelle disposition, la vie cessera sur terre !".
Solution
Appelons :
- <asciimath>X_1</asciimath> le premier moine, c'est-à-dire le Père Inférieur,
- <asciimath>X_2</asciimath> le second moine, situé à droite du Père Inférieur <asciimath>X_1</asciimath>,
- <asciimath>X_3</asciimath> le moine situé à droite de <asciimath>X_2</asciimath>,
- et ainsi de suite, en généralisant la règle "<asciimath>X_i</asciimath> le moine situé à droite de <asciimath>X_(i-1)</asciimath>" et ce <asciimath>AA i in {NN,1<=i<=30}</asciimath>
Les 30 moines étant placé en cercle, le moine <asciimath>X_i</asciimath> se trouve forcément en face du moine <asciimath>X_(i+15)</asciimath> et ce <asciimath>AA i in {NN,1<=i<15}</asciimath>
La somme des numéros des moines vaut <asciimath>465=sum_(i=1)^30(X_i)</asciimath> mais aussi, puisque au départ, la position correspond à l'indice: <asciimath>sum_(i=1)^30(i)=30*(30+1)/2=465</asciimath>
Du fait que La somme des numéros de deux voisins quelconques doit toujours être égale à la somme des numéros portés par les deux moines qui leur sont diamétralement opposés, on a les 14 équations suivantes : <asciimath>X_i+X_(i+1)=X_(i+15)+X_(i+16)</asciimath> valable <asciimath>AA i in {NN,1<=i<=14}</asciimath>
En additionnant membre à membre ces équation, on obtient: <asciimath>sum_(i=1)^14(X_i+X_(i+1))=sum_(i=1)^14(X_(i+15)+X_(i+16))</asciimath> qui peut se simplifier en <asciimath>X_1+2*sum_(i=2)^14(X_i)+X_15=X_16+2*sum_(i=2)^14(X_(i+15))+X_30</asciimath>
<asciimath>X_i+X_(i+1)=X_(i+15)+X_(i+16)</asciimath> valable <asciimath>AA i in {NN,1<=i<15}</asciimath>
de l'égalité des sommes de deux moines en vis-à-vis, on a: <asciimath>X_i+X_(i+15)</asciimath> est constant <asciimath>AA i in {NN,1<=i<15}</asciimath>
on peut développer cela en <asciimath>X_1+X_16=X_2+X_17</asciimath>
