Problèmes Impossibles/Pique-nique à la militaire
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Énoncé
Jean-Yves fait une fête avec des amis, ils partent faire un pique-nique à l'extérieur de la ville en char. Au départ, chaque char transporte le même nombre de passagers. 10 des chars deviennent inutilisables à mi-chemin, si bien que chacun des chars restant doivent prendre une personne de plus à leur bord. Au retour, 15 autres chars tombent en panne, il faut à nouveau répartir équitablement les passagers entre les autres véhicules. A l'arrivée, chaque char contient 3 personnes de plus qu'au départ. Combien y avait-il de chars au départ pour ce pique-nique et combien y avait-il de participants ?
Solution
Posons <asciimath>x</asciimath> le nombre de participants et <asciimath>y</asciimath> le nombre initial de chars.
Le nombre initial de personnes par char est donc <asciimath>x/y</asciimath>
1ère étape : 10 chars tombent en panne.
Le nombre de char devient <asciimath>y-10</asciimath> et le nombre de personne par char est maintenant de : <asciimath>x/(y-10)</asciimath>
Comme on sait que le nombre de personnes par char a augmenté de 1, on peut affirmer que : <asciimath>x/(y-10)=x/y+1</asciimath>
qui après simplification donne : <asciimath>x=(y^2-10*y)/10</asciimath>
2ème étape : 15 chars tombent en panne.
Le nombre de char devient <asciimath>y-25</asciimath> et le nombre de personne par char est maintenant de : <asciimath>x/(y-25)</asciimath>
Comme on sait que le nombre de personnes par char a augmenté de 3 par rapport au début, on peut dire que : <asciimath>x/(y-25)=x/y+3</asciimath>
qui après simplification donne : <asciimath>x=(3*y^2-75*y)/25</asciimath>
En combinant les deux équations, nous obtenons l’équation finale : <asciimath>(y^2-10*y)/10=(3*y^2-75*y)/25</asciimath>
Qui donne comme solution <asciimath>y=100</asciimath> et <asciimath>x=900</asciimath>
